「解三角形」常考题型！基础到进阶！

UP主介绍解三角形五大题型：三角形解的个数、测量问题、边角化简、最值范围、多三角形。前两种在高一期中期末爱考，后三种是高一高二及高考必考点。因题型多，一个视频讲不完，故把前两个题型合在一起讲，边角化简与最值问题合在一起讲。

本节说明三角形解的个数问题通常给出两边和一角，且必为SSA形式而非SAS：两边夹一角可判定全等、三角形唯一，无需讨论；SSA不能判定全等，故解的个数可能不确定，需分情况讨论。

本节用画图法把解的个数分为四种情况：边a小于b倍sinA时无解；等于b倍sinA时恰有一解；大于b倍sinA且小于b时有两解；大于等于b时只有一解。临界条件是点到直线距离b倍sinA与边b。

本节用画图法逐项判断四个选项中三角形恰有一解的是哪个。A选项角C为30度、b等于7、c等于3，c小于临界值3.5，无解；B选项角C为45度、b等于5、c等于6，大于临界值且大于b，只有一解，故选B。

本节用余弦定理把已知两边一角转化为关于第三边c的一元二次方程，解的个数取决于方程有几个正根：两个正根对应两个三角形，一个正根对应一个，无正根则无解。不能只看判别式，还要看根的正负。

以余弦定理列一元二次方程判断解的个数：A选项代入b=7、c=3、C=30度得a方减7倍根号3a加40等于0，判别式小于零故无解；C选项以cosB列式得c方减6c加9等于0，即c减3的平方等于0，只有一个正根，画图也验证圆与射线仅一个交点；D选项得c的方程判别式大于零，由对称轴与截距判断两根均为正，故有两个解，本题选B。

反过来已知一边一角且三角形有两解，求边c的取值范围。用画图法最快：先画45度角与定长边b=8，以端点为圆心作圆，要与射线有两个交点，半径须大于点到直线距离且小于b。该距离为等腰直角三角形的直角边，即8除以根号2等于4倍根号2，故c大于4倍根号2且小于8，两端等号均取不到。

已知A点测得B、C俯角为75度和30度，气球高60米，求BC。由内错角得相关角为30度、15度，大三角形为特殊三角形，斜边120、大边60倍根号3，用tan15度等于2减根号3求小段，相减得BC为120倍根号3减120。也可在含BC的三角形中由两角求第三角105度，利用sin105度等于sin75度列正弦定理求解。

A处巡逻，B在北偏东75度方向、距A 60海里，毒贩驶向C，缉毒船追捕，恰在C处抓获。设时间t表示两边，由同旁内角得角ACB为120度，列余弦定理得一元二次方程，因式分解取正根t等于2小时。再求行驶方向：用正弦定理得sin阿尔法等于四分之根号六减根号二，即15度，故方向为北偏东60度。

复习正余弦定理的使用场景：三边一角或出现边的平方时用余弦定理；两对对边对角时用正弦定理；出现外接圆半径求半径只能用正弦定理；并引出本节重点——出现齐次式用正弦定理。

由a比sinA等于2R推出边a比边b比边c等于sinA比sinB比sinC，说明边之间的比例关系可转化为sin角度的比例关系，反之亦然，这是正弦定理的变形式，也是齐次式边角互化的原理。

例题2b sinA等于sinB，左右两侧都是sin的一次幂即齐次式，把sinA、sinB分别换成2R分之a、2R分之b，约掉2R后得2ba等于b，再约b得边a等于二分之一，体现sin齐次式化边。

例题a等于2b sinA，左右两侧都是边的一次幂，把a比b换成sinA比sinB，得sinA等于2sinB乘sinA，约去sinA（三角形中角在0到180度之间取不到0）得sinB等于二分之一，B为30度或150度，体现边齐次式化角。

以边a方等于b乘c为例，左边是边的二次幂，右边一次乘一次整体也是二次，可全部化成sin：sinA方等于sinB乘sinC。原理是左右两侧2R的个数相同才能一起约掉，只有齐次式才能保证这一点。

反例sinB乘sinC等于三分之二，右边是常数没有sin，不是齐次式，不能生搬硬套化成b乘c。若硬化，sinB写成2R分之b、sinC写成2R分之c，2R无人可约，所以必须先找到齐次式才能边角互化。

题目给出sinB乘sinC等于三分之二，由前面化简得sinA方也等于三分之二，求cos2A用二倍角公式cos2A等于1减2倍sinA方，代入得一减二乘三分之二，答案为负三分之一。

已知边角混合等式判断三角形形状：右边为齐次式，用正弦定理化为(sinB+sinC)/sinC；左边用二倍角公式化为(1+cosA)/2，整理得sinB=sinC·cosA。思路一：角化边得b=c·cosA，再用余弦定理得a²+b²=c²，为直角三角形。思路二：用sinB=sin(A+C)消元，展开得sinA·cosC=0，因sinA为正，故cosC=0，C=90°，同样得直角三角形。

已知边角等式(a+c)(a-c)=b(a-b)判断形状：各项齐次，用正弦定理把sinA、sinC、sinB全化为边，得a²-c²=ab-b²，移项得a²+b²-c²=ab。凑余弦定理，两边除以2ab得cosC=1/2，故C=60°。强调边化角会引入大量三角函数运算，边化边更简洁。

总结边角混合式化简的三个方向：角化角用三角恒等变换公式；边化边用正弦定理约去2R；边角互化用正弦定理与余弦定理。以本节两题为例，第一题先用正弦定理边化角、再用余弦定理角化边；第二题直接角化边后用余弦定理求角，两题均体现正余弦定理的配合使用。

小练习：由c²+b²-a²=bc，两边除以2bc凑余弦定理，得cosA=1/2；又由sinC=2cosA·sin(B+30°)且A、B、C三角并存，用sinC=sin(A+B)消元，展开并代入cos60°=1/2、sin60°=√3/2，约去cosA·sinB，在锐角三角形中cosB≠0可约，最终得tanA=√3，A=60°。

化简大练习第一题：用二倍角公式化简，先论证cosB不为零，约去cosB后交叉相乘，得cos(A+B)=sinB。由C=120°得A+B=60°，故B=30°。全程只用三角恒等变换。

化简大练习第二题：观察到每项都是sin的二次齐次式，用正弦定理角化边，得(b-c)²=a²-bc，展开完全平方得b²+c²-a²=bc，两边除以2bc凑余弦定理，得cosA=1/2，在0到π内A=60°。解题路径为识别齐次式、角化边、再用余弦定理。

2022全国一卷化简真题：原式全为角而结论全为边，先用两角和差公式展开sin(A-B)与sin(C-A)，再逐项角化边，整理出ac cosB、bc cosA、ab cosC等项，合并同类项后把各cos用余弦定理化为分数，约去ac、ab、bc后化简即得结论。该题被视为近年高考计算量最大的化简题之一。

模拟题挑战第一题：由a/sinA=2推出b=2sinB、c=2sinC。cos2C-cos2B选用一减二倍sin方形式，化为2(sin²B-sin²C)，避免cos不便边角转化。再用正弦定理把sin换成边，得b²-c²=ab-a²，即a²+b²-c²=ab，除以2ab得cosC=1/2，C=π/3。

模拟题挑战第二题：条件含a、b与sin(A+π/6)，直接展开会越化越繁，应结合多个条件看，把常数π/6反带回成参数，凑出sin(A+C)即sinB，于是a/sinA=b/sinB化为a/b，得a²+ab=2b²。这是边的二次齐次式，两边除以b²，令x=a/b得x²+x-2=0，解得x=1或-2，舍负得a=b，三角形为等腰。

所求式化为2c方比(a方+b方-c方)。已知式用余弦定理化为边，整理得a方+b方=二分之三c方。代入所求式得4。

已知边a为3，由sin二次齐次式化边得b方加c方减a方等于bc，凑出cosA等于二分之一，即A为三分之派。求面积最大值时选两边夹一角公式，面积最大等价于bc最大；列余弦定理得b方加c方等于9加bc，用基本不等式b方加c方大于等于2bc得bc小于等于9，面积最大为四分之九倍根号三，当且仅当b等于c即等边三角形时取等。

同样在A为三分之派、a为3的条件下改求周长最大值，即求b加c的最大值。由余弦定理得b方加c方等于9加bc，两边同加2bc凑出b加c整体的平方等于9加3bc，再用积化和的变形把bc换成二分之b加c整体的平方，解不等式得b加c小于等于6，当且仅当b等于c即等边三角形时取等，故周长最大值为9。

当所求式子系数不对称如二b减c时，基本不等式失效，改用正弦定理：由a为3、A为三分之派得b等于二倍根号三sinB，c等于二倍根号三sinC，又B加C等于一百二十度可消元。将二b减c化为六倍sin(B减三十度)，形式上小于等于六，但取等需B等于一百二十度，此时C为零不成立，故最大值只能无限接近六而取不到，即最大值不存在。

总结最值与范围的两大解题路径。第一类化成边：用余弦定理加基本不等式，前提是只问最大值或最小值之一、且式子对称，如b加c；计算简洁但适用范围窄。第二类化成角：用正弦定理加三角函数，可处理非对称式子如二b加三c，也能求取值范围，缺点是计算量稍大。

在二b减c基础上追加锐角三角形条件求取值范围。锐角三角形是陷阱，不能只让角b在零到九十度，还需角c等于一百二十度减b也在零到九十度，取交集得b在三十度到九十度之间。整体法求b减六分之派在零到三分之派，画正弦图像得最小值趋近零、最大值二分之一，乘六后答案为大于零小于三。

钝角三角形边角等式含sin、cos，只能边化角，用sinB=sin(A+C)消元得sinB=cosA。排除B锐C钝后得B=π/2+A。求分式范围化角，化为只含A的式子得√2sin(A+45°)，由A∈(0,π/4)取倒数得(√2/2,1)。

总结全片核心：解三角形问题归根到底只有两种思路，要么把所有问题化成边，要么把所有问题化成角；最后留一道小作业，用来检验自己有没有听懂。